Calcul de la position miroir du secondaire

Sur un télescope de type Newton

Le miroir primaire terminé, reste à construire la monture.
Il faut d’abord choisir la position de l’oculaire et le diamètre du cône de lumière que l’on veut récupérer (la “pupille de sortie”).

Il faut ensuite déterminer la position et la dimension du miroir secondaire.
N’ayant trouvé cela ni sur internet ni dans un livre, j’ai fait le calcul. Les résultats obtenus sont cohérents, mais ça vaudrait peut-être le coup de les vérifier.

A télécharger : secondary_miror-java.zip programme java (logiciel libre, GPL), qui effectue les calculs de cette page.

Figure 1
Trajet d'un rayon
non parallèle à l'axe

Le miroir primaire est une portion de “paraboloïde de révolution”, surface générée par une parabole tournant sur elle-même autour de son axe, que l’on appelle axe du miroir.
On a la propriété : tout rayon lumineux parallèle à l’axe de la parabole est réfléchi au foyer.

Le miroir est le “fond” de ce paraboloide de révolution, un cercle de 30 cm de diamètre ; l’axe du miroir passe par son centre.

Ainsi, si on coupe le miroir en passant par son centre, on a un morceau de parabole (à quelques centièmes de microns près).


On nomme :

Dans une parabole, tout rayon parallèle à l'axe de la parabole est réfléchi au foyer.
Ainsi, tous les rayons lumineux arrivant parallèles à l'axe seront réfléchis dans un cône de sommet F
Pour récupérer la lumière, on se place au foyer, et on y pose l'occulaire.
On cherche donc à intercepter la lumière réfléchie dans un cercle de centre F et de diamètre d
Ce cercle nous amène à construire un deuxième cône, de sommet G

Le schéma est donc le suivant :

Trajet d'un rayon lumineux
Figure 2

Pour observer, on ne peut pas mettre la tête directement en F, sinon on cacherait la lumière.
C’est pourquoi on place le miroir secondaire, un petit miroir plan à 45°,
qui doit intercepter les rayons réfléchis dans le cône de sommet G
, et les dévier vers le porte-occulaire.
Sur le dessin, on voit que ce miroir plan (AB), est construit de manière à couper le cône de sommet G.

Le miroir secondaire est l’intersection entre un plan et un cône, c’est donc une ellipse.
Miroir plan en ellipse
AB est le grand axe de cette ellipse, et C son centre.

Sur la figure 2, on voit que le miroir est décalé par rapport à l’axe du télescope.
Regardons la zone en jaune : la partie de AB dans le cône de sommet G, mais hors du cône de sommet F. Comme le miroir est incliné, cette partie est plus petite en A qu’en B.
L’axe du télescope ne coupe donc pas le miroir en son centre.
On va donc aussi récupérer des rayons lumineux non parallèles à l’axe.
On note C’ l’intersection entre le miroir et l’axe du télescope.
Le petit axe de l’ellipse est C1C2 = A1B1.

C’est cette valeur du petit axe qu’il faut spécifier lorsqu’on achète un miroir secondaire.

Il faut donc calculer la distance AB, la position de C, et le petit axe A1B1.

Notations
On a déjà vu :

La géométrie du miroir primaire nous fournit : Valeurs pour mon télescope :
D = 253 mm
f = 1260 mm
f” = 3,18 mm

L’épaisseur du matériau utilisé pour la construction de la monture nous donne e (4 mm pour mon télescope).

Reste à choisir plusieurs valeurs :

Le choix de d1 dépend de la place que l’on veut pour le porte-oculaire. Plus on veut un d1 grand, plus on doit placer le miroir secondaire bas, et plus AB sera grand, plus le miroir secondaire occultera une part importante de lumière ; on a donc intérêt à ne pas avoir un d1 inutilement trop grand.
Pour mon télescope :
d = 11 mm
δ = 30 mm
d1 = 40 mm

On a maintenant suffisament de données pour déterminer AB et la position de C.
Les applications numériques (notées a.n.) correspondent aux valeurs de mon télescope.

Autres notations :

1. Calculs préliminaires

  • h’ : on a : h’ + R + h = f’. Donc h’ = f’ - R - h.
  • α :
  • l : par Thalès en partant de G, on a :


    Or GF = l et GO = f’ + l.
    Donc , ce qui donne : .

  • A’B’ : par Thalès en partant de G, on a :
    Or GO = f’ + l et GC’ = f’ + l - h’.
    Donc , ce qui donne :

  • γ, dont on va avoir besoin pour calculer AB :
    On a :
    a.n. : γ = 5,5°
  • 2. Calcul de AB

    On décompose en AB = AC’ + C’B



    2.1 Calcul de AC’



    On introduit l’angle x. On a : x + π/4 + π/2 + γ = π, donc x = π/4 - γ.

    On a : C’A = C’H + HA
    .
    .
    On ne connaît pas AA’, alors on s’en débarasse :
    on a : .
    et :
    ce qui donne :
    Donc .

    Finalement : [1]

    2.2 Calcul de C’B



    On introduit l’angle y. On a : y + π/2 - γ + π/4 = π, donc y = π/4 - γ.
    En suivant la même méthode que pour AB, on obtient :

    [2]

    2.3 Calcul de AB

    En combinant [1] et [2], on obtient :

    En exprimant x et y en fonction de γ, on obtient :
    a.n. : AB = 61.5 mm

    Au passage, la présence du miroir secondaire cache une partie de la lumière.


    Ce sont les rayons arrivant dans un cercle de rayon
    Le pourcentage de rayons arrêtés est : (pourcentage en surface)
    a.n. : p = 11,8%.

    3. Position de C

    si quelqu’un veut vérifier j’ai scanné les détails : scan_details_c.jpg.


    a.n. : CC’ = 4,39 mm



    Figure 2 simplifiée

    Repère pour position miroir secondaire

    En définissant un repère (O1, x, y, z), avec :
    - O1y passant par O
    - O1z parallèle à l’axe du télescope


    Dans (O1, x, y, z), les coordonnées de C et C’ sont : et , avec

    Calcul du petit axe A1B1


    a.n. : A1B1 = 37,5 mm

    A Vérifier

    Pour que ces calculs puissent être considérés comme fiables, il faudrait que d’autres que moi les vérifient ; la seule chose que je puisse dire, c’est que ça a donné des résultats cohérents pour mon télescope.

    Si quelqu’un a connaissance d’un livre ou d’un site qui a fait la même chose, merci de me le faire savoir.