Citations concernant la notion de Faisceaux sur un espace, inventé par Jean Leray en 1942
Grothendieck
Cela n’empêche que j’ai été (à la suite de H. Cartan et J.P. Serre) un des principaux utilisateurs et promoteurs d’une des grandes
notions novatrices introduites par Leray, celle de faisceau, laquelle a été un des outils essentiels à travers toute mon oeuvre de
géomètre. C’est elle aussi qui m’a fourni la clef pour l’élargissement de la notion d’espace (topologique) en celle de topos, dont
il sera question plus bas.
Peu de temps avant, notre conception de ces invariants de cohomologie s’était d’ailleurs vue enrichir et
renouveler profondément par les travaux de Jean Leray (poursuivis en captivité en Allemagne, pendant la
guerre, dans la première moitié des années quarante).
L’idée novatrice essentielle était celle de faisceau (abélien) sur un espace, auxquels Leray associe une suite de "groupes de cohomologie" correspondants (dits "à
coefficients dans ce faisceau"). C’était comme si le bon vieux "mètre cohomologique" standard dont on disposait jusqu’à présent pour "arpenter" un espace, s’était soudain vu multiplier en une multitude inimaginablement grande de nouveaux "mètres" de toutes les tailles, formes et substances imaginables, chacun intimement
adapté à l’espace en question, et dont chacun nous livre à son sujet des informations d’une précision parfaite,
et qu’il est seul à pouvoir nous donner. C’était là l’idée maîtresse dans une transformation profonde dans
notre approche des espaces en tous genres, et sûrement une des idées les plus cruciales apparues au cours de
ce siècle. Grâce surtout aux travaux ultérieurs de Jean-Pierre Serre, les idées de Leray ont eu comme premiers
fruits, au cours de la décennie déjà suivant leur apparition, un redémarrage impressionnant dans la théorie des
espaces topologiques (et notamment, de leurs invariants dits "d’homotopie", intimement liés à la cohomologie ), et un autre redémarrage, non moins capital, de la géométrie algébrique dite "abstraite" (avec l’article
fondamental "FAC" de Serre, paru en 1955). Mes propres travaux en géométrie, à partir de 1955, se placent
en continuité avec ces travaux de Serre, et par là même, avec les idées novatrices de Leray.
On regarde tous les ouverts U de la variété X et toutes les fonctions d'une classe donnée définie sur ces ouverts F(U).
Un faisceau sur X de cette classe de fonctions, c'est quelque chose qui
à chaque ouvert U de la variété associe un groupe F(U) : U -> F(U) F(U) est l'ensemble des fonctions de cette classe définies sur U.
