cours 1 - 5, 18:40'
Je voudrais faire une remarque sur l'importance de la notion de foncteur. (...) Pourquoi les foncteurs constituent une notion si importante ? (...) Ils permettent d'établir des liens entre catégories. (...) Or, si une catégorie ne s'identifie pas exactement à une théorie (...), beaucoup de théories peuvent être vues comme la théorie d'une catégorie, au sens où l'étude dont s'occupe cette théorie consiste à étudier essentiellement une certaine catégorie. Du coup les foncteurs exprimant des relations entre catégories (...) peuvent être vus comme les moyens de circulation entre théories.
C'est là un mode de pensée absolument fondamental en mathématique ; d'une certaine façon la découverte de Descartes de la possibilité de traiter algébriquement la géométrie exprime une relation entre algèbre et géométrie et peut s'incarner en quelque sorte par des foncteurs entre catégories de type géométrique et catégories de type algébrique. C'est un fait tout à fait dominant des mathématiques du 20e siècle que d'avoir établi des ponts entre les théories. C'est très souvent ce qui permet d'avancer (...) Si un problème difficile se pose dans une théorie, si on a les moyens de transporter (...) une partie du problème dans une autre théorie, dans un autre langage, dans lequel il va se présenter de manière différente, cette différence peut permettre d'avancer dans cette autre théorie et ensuite il s'agit de revenir dans la première théorie. Il faut pouvoir circuler entre théories. (...)
Les foncteurs sont des véhicules très précis pour circuler entre théories différentes, et donc jouent un rôle fondamental dans l'évolution des mathématiques, de manière implicite ou explicite.
Cours "Unité et multiplicité" (automne 2013)