Pour chaque espace topologique $X$, et pour chaque choix d’un point $x\in X$, Poincaré définit un groupe qui est noté aujourd’hui $\pi_1(X,x)$. Cette association est fonctorielle dans le sens qu’à chaque application continue $f : X \to Y$ envoyant $x$ sur $y$ correspond un homomorphisme de groupes $f_*:\pi_1(X,x)\to \pi_1(Y,y)$ de manière compatible avec les compositions. Il s’agit d’un exemple typique de la démarche dont procède la topologie algébrique : on associe quelque chose d’algébrique à quelque chose de topologique.
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