Groupe

Définition

• un ensemble, les nombres entiers, noté N
• une opération, l'addition, notée +

1. Lorsqu'on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier.
   On peut traduire ça par :
   
   L'opération est une loi de composition interne
   
   Lorsqu'on combine deux éléments de l'ensemble par le biais de l'opération, on obtient toujours un élément de l'ensemble.
2. Il existe un nombre particulier, 0 tel que pour tout nombre n :
   
   n + 0 = n
   et
   0 + n = n
   
   Ce qui peut se traduire par :
   
   L'ensemble contient un élément particulier, appelé élément neutre, noté e
   tel que pour tout x de E : x • e = e • x = x
3. Il existe une opération inverse de l'addition, la soustraction :
   4 - 4 = 0
   Au lieu d'introduire une opération inverse, on peut exprimer ça en disant qu'il existe un nombre -4 tel que :
   
   4 + (-4) = 0
   et
   (-4) + 4 = 0
   
   Autrement dit, pour tout nombre n il existe un nombre noté -n tel que
   n + (-n) = 0
   
   
   Pour tout élément x de E, il existe un élément x' de E tel que
   x' • x = x • x' = e
   On dit que x' est l'opposé de x.
   
   Cette propriété n'est pas vérifiée si E est l'ensemble des entiers positifs, puisque -4 n'est pas un nombre positif.
   Ça marche si E contient les entiers positifs et négatifs (on appelle ça les entiers relatifs, et on note cet ensemble Z).
   (Z, +) est un groupe mais (N, +) n'est pas un groupe.
4. Si on additionne 3 nombres, on peut :
   - Additionner les deux premiers, puis additionner le résultat au troisième.
   - Additionner les deux derniers, puis additionner le résultat au premier.
   Dans les deux cas, on obtiendra le même résultat.
   Par exemple, on veut additionner
   3
   4
   et
   5
   .
   On peut faire aussi bien :
   (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12
   que
   3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12
   
   D'une manière générale, on a :
   (a + b) + c = a + (b + c)
   , que l'on peut noter
   a + b + c
   
   On appelle cette propriété l'associativité
   
   Pour tout x, y, z de E, on a : (x • y) • z = x • (y • z)

Groupe commutatif

Les propriétés précédentes définissent une structure de groupe.
On peut avoir une propriété supplémentaire :
x • y = y • x pour tout x et y de E
Dans ce cas, on dit que le groupe est commutatif.
C'est le cas pour l'addition.

Une structure générale

Si on a utilisé l'addition des nombres entiers comme exemple, la définition d'un groupe et les propriétés de l'opération ne font aucune référence ni aux nombres entiers ni à l'addition.

Un groupe est un ensemble E muni d'une opération • tels que :
L'opération est une loi de composition interne
L'ensemble contient un élément neutre pour l'opération
Tout élément de E a un opposé dans E
L'opération est associative

En identifiant cette définition et ces 4 propriétés, les mathématiciens se sont dotés d'une structure très intéressante qui s'applique à des situations très diverses.

Exemples de groupe

La multiplication

La multiplication est un groupe :
• L'élément neutre est 1 : 1 x 8 = 8 x 1 = 8
• Chaque nombre a un opposé : 8 x (1/8) = (1/8) x 8 = 1
  (dans le cas de la multiplication, on parle d'inverse).
Pour la multiplication, on ne peut plus se situer dans l'ensemble Z des entiers relatifs (1/8 n'est pas un nombre entier).
On doit se placer dans l'ensemble des nombres rationnels, noté Q.
Q est l'ensemble des nombres pouvant s'exprimer comme fraction de 2 nombres entiers.
(Q, x), l'ensemble des nombres rationnels muni de la multiplication, est groupe commutatif.

Rotations d'un carré

Grupe de symétries

Rubik's cube

Groupoïde

Groupe fondamental