Joyal Connes Caramello Lafforgue
General discussion

Alain Connes
01:30

03:38 The intent was to change the way the word topos is considered by mathematical community.
(...) For many years, when I was hearing the word topos, the mental image that I had of a topos was a very strange topological space that I would never had to use, which was not part of the mathematics I liked, which are concrete. And it's only when I understood the the fact that small categories naturally give rise to a topos that I said : this is wonderful. Mathematicians that don't accept the word topos are ignorant, I was an ignorant for many years, and very often ignorance implies disdain. Because they are ignorant, they react to the notion with disdain and by some kind of contempt because they don't want to make the effort to learn. The problem with topos theory is that it's not an effort that you can do easily, each mathématician has to find the door. I hope that each of you at some point will be touched by "oh this is great".

Olivia Caramello
05:58 We were all inspired by what Grothendieck hiself told about toposes in Récoltes and Semailles. (...) The insistance on the unifying power of the notion of topos. They can allow to embrace both the continous and the discrete, to unify different areas of mathematics. I think that now we are in a situation where topos theory is sufficiently mature from a technical view point to actually realize this dream of unifying different branches of mathematics with each other.
In particular I think that the notion of classifying topos which was first introduced in the seventies is particularily suitable for formalizing this idea of unification for formalizing the phenomenon that two completely different looking mathematical theories might actually have the same mathematical content, or a stricly related mathematical content. I have tried to explain in my course that taking this point of view of classifying toposes seriously can really lead to a great amount of surprising insights across different mathematical theories. But not just across different theories, if you want to study just a single mathematical theory, the fact that a theory is a sort of living organism, not a dead thing, so it has its internal dynamics. So basically this internal dynamics of a theory translates into the fact that its classifying topos admits these multiple representations. And by playing with that you can really extract a lot of information about our theory, that you would not see with alternative glasses. There is this element of magic, or suprise, that is hidden on toposes and I'm sure that we are at the very very begining of exploring the potential of all of this. (...)

Laurent Lafforgue
09:15 J'espère que ce colloque va avoir sur beaucoup de personnes l'effet de transformation qu'à eu sur Alain Connes son propre travail de recherche et sur moi depuis quelques années les très nombreuses conversations que j'ai eu avec Olivia. Alain Connes a expliqué que pendant longtemps il pensait que les topos n'étaient pas sérieux. Pour ce qui me concerne, moi qui vient de la géométrie algébrique, bien-sûr j'avais lu ce que Grothendieck disait dans Récoltes et Semailles, mais pour moi, les topos servaient à fabriquer des invariants cohomologiques dans des situation où la topologie ordinaire ne suffisait pas. Je connaissais la cohomologie étale, la cohomologie cristalline et les topos de Grothendieck pour moi se cantonnaient à cela. J'avais entendu aussi que les logiciens s'étaient emparés des topos, mais comme la plupart des mathématiciens je pensais que la logique ne servait à rien. J'ai pensé cela jusqu'à ce qu'Olivia m'explique des éléments de logique et à me parler de topos en relation avec cette logique. (...) J'ai été très vite convaincu par le théorème d'existence des topos classifiants (...) qui pour moi était une surprise totale.

==============> en cours : 12:05 <=================


André Joyal
51:08 Je pense qu'on peut utiliser la théorie des topos sans être un spécialiste. (...) C'est juste un outil.


Alain Connes
52:04
Je pense qu'on aurait tort de croire que même au niveau géométrique l'idée du topos suffit à appréhender ce que la nature nous présente.
Grothendieck insiste, et il a parfaitement raison, sur le fait que le topos unifie le discret et le continu. Mais il y a une autre merveille dans la nature, c'est le quantique, et le formalisme du quantique, qui a cette linéarité dont parlait Laurent, a cette merveille extraordinaire qu'il permet au discret, les opérateurs à spectre discret, de coexister avec les opérateurs à spectre continu.
Et il y a une profondeur absolument incroyable dans le quantique ; le formalisme du quantique est extrèmement performant pour dire ce que c'est que la variabilité, ce que c'est qu'une variable.

51:15 Présentation d'un générateur de nombres aléatoires quantique : une led envoie des photons sur un écran, et le générateur de nombres aléatoires regarde où le photon arrive, ce qui est non reproductible par le principe d'incertitude de Heisenberg et il produit un nombre aléatoire.
Le monde du quantique est à côté du monde des topos, et il ne faut pas croire qu'on peut tout réduire à un topos.

54:07 C'est aussi très important que non seulement nous puissions l'utiliser en tant que mathématiciens, que nous soyons capables de savoir qu'il y a un topos derrière telle ou telle situation. (...) On a tous l'idée simpliste qu'une chose est soit vraie soit fausse. Or l'idée du topos a, dans son caractère logique, dans le fait qu'il y ait cet oméga qui est le classifiant, a ce potentiel extraordinaire de formalisation, qui permet de ne plus avoir seulement le vrai et le faux, mais avoir l'idée de "a path to truth", d'un chemin vers la vérité.
(...) que des gens sérieux soient capables d'adapter ce merveilleux outil pour mieux comprendre. Dans une salle où il y a un discours politique, on ne comprend rien si on a l'idée que c'est X ou Y qui a raison, et si X a raison, c'est Y qui a tort etc. Les choses sont beaucoup plus subtiles que ça. On pourrait rendre un grand service au langage, qui nous a rendu énormément de services, en essayant de traduire en termes compréhensibles et utilisables cette idée du topos.
55:50 : Le grand danger, c'est qu'il y a des tas d'escrocs, par exemple j'ai vu un bouquin qui s'appelle le topos de la musique, c'est des bêtises inouïes. (...)
Il y aura une évolution, je pense que ce sera une évolution très lente, je pense que ça prendra du temps avant que l'idée du topos passe dans la philosophie, mais une fois qu'elle l'aura fait, on pourra formuler les choses de manière beaucoup plus subtile et intéressante que par le vrai et le faux comme on le fait d'habitude.

Stéphane Dugowson
57:30 Est-ce que vous voulez dire quelques mots sur l'enseignement des topos ?

André Joyal
57:50 Le titre de l'exposé de Urs ? était pré-quantum. (...) Le vrai mystère mathématique est peut-être le quantum. Je pense que les topos ont une contribution à faire mais on dirait que que c'est encore du classique. Que les vrais espaces quantiques sont toujours ... Alain ?

Alain Connes
58:30 Ce qui m'a convaincu des topos, c'est que un topos extrèmement simple peut avoir comme espace de points un espace non commutatif. J'ai été estomaqué par ça. Les espaces dans lesquels la notion d'égalité est plus subtile ; ex des pavages de Penrose ; on peut faire coïncider deux pavages autant qu'on veut, l'égalité est mal définie. On peut avoir des choses qui se ressemblent autant qu'elles veulent sans être égales. Ça c'est quantique. La chose qui est quantique, cette espèce de fluctuation, elle est présente. Il y a ce pont entre le quantique et quelque chose qui après peut être formalisé par un topos. Mais il y a plus dans le quantique, parcequ'il y a les nombres complexes etc. Là il a une vraie question.
C'est très dangereux de considérer qu'on a trouvé la chose qui est vraiment la géométrie quantique.

André Joyal
1:03:34 In the stable case, finite limits and finite co-limits commute. It's not that you have a distributivity law, you can do one or the other, and that characterizes stable categories. It's an amazing thing that one could have this kind of universe where thes two things commute because they are in principle very different.