Catégories
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Schémas
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Topos
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Motifs
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Fondations univalentes
Catégories
C'est le B.A. BA de cette histoire, les briques de bases qui servent à exprimer tout le reste.On rejoint une première fois l'informatique car un langage de programmation se représente très bien par une catégorie particulière, la catégorie des ensembles.
Schémas
Ça, je n'ai pas bien compris. On dit que c'est une reformulation de la notion de point. J'ai l'impression que c'est une structure qui permet d'exprimer les courbes (les "variétés") et qui a été l'outil central de la refondation de la géométrie algébrique par Grothendieck.Topos
Grothendieck considère que c'est l'outil le plus puissant qu'il ait conçu. Au lieu d'étudier un "espace" mathématique de l'intérieur comme on fait d'habitude, il étudie les relations entre cet espace et tous les autres espaces. Et l'ensemble de ces relations forme une catégorie qu'on appelle un topos. Il s'avère qu'en étudiant les relations avec les autres espaces, on en a une compréhension bien plus grande qu'en l'étudiant de l'intérieur. Dans ce sens, un topos est considéré comme une refondation de la notion d'espace.Motifs
Une notion que Grothendieck a rêvé (assez précisément quand-même) sans la développer dans les détails comme les topos. On dit que c'est comme l'ADN de tout ce bordel. J'imagine ça comme l'ADN de toutes ces transformations entre espaces mais je ne suis pas sûr. Toujours est-il que Vladimir Voïevodski a développé les motifs et les a utilisé pour fabriquer les "fondations univalentes".Fondations univalentes
C'est là qu'on rejoint à nouveau l'informatique, on dit qu'il s'agit d'un outil qui permet à la fois de formuler toutes les maths et d'être informatisé. Je n'en ai pas compris grand chose, mais si ça constitue la base de l'informatique de demain, ça vaudrait le coup de se renseigner (j'ai été refroidi par une remarque : "ça manque pour l'instant de convivialité, mais ça finira par être utilisé").Pour démarrer
Grothendieck nous donne un point de départ :Traditionnellement, on distingue trois types de “qualités” ou d’“aspects” des choses de l’Univers, qui soient objet de la réflexion mathématique :
ce sont le nombre, la grandeur, et la forme.
On peut aussi les appeler l’aspect “arithmétique”, l’aspect “métrique” (ou “analytique”), et l’aspect “géométrique” des choses. Alexandre Grothendieck, Récoltes et Semailles