Couronne de la yourte - Plans

La couronne (aussi appelé tonoo) est un cercle de bois dans lequel les perches vont se ficher.
C’est la pièce qui m’a demandé le plus d’attention.
D’après ce que j’ai pu voir, il n’y a pas de règle précise pour choisir le diamètre de la couronne ; les couronnes des yourtes que j’ai visitées ont un diamètre compris entre 1 m 20 et 1 m 60 ; j’ai entendu parler de couronnes de 1 m 80 pour des yourtes entre 6 et 7 mètres de diamètre.
J’ai choisi 1 m 60.
Pour l’épaisseur et la largeur du cercle (notées hc et vc), là non plus pas de règle précise. J’ai choisi 10 cm x 10 cm, car j’ai de grosses perches, et je compte faire des trous de 4 cm dans la couronne pour pouvoir encastrer les perches.

Pour faire un cercle de bois de 1 m 60, il faut découper des arcs de cercle dans une planche, qui sont collés / vissés les uns aux autres en décalé pour former un cercle. Pour faire tenir le tout, il faut au moins deux étages.

On connaît :

np, le nombre de perches

On définit :

• dc, diamètre extérieur de la couronne ; rc, le rayon
• dci, diamètre intérieur de la couronne ; rci, le rayon
• hc, épaisseur horizontale de la couronne
• vc, épaisseur verticale de la couronne
• dpc, diamètre des perches dans la couronne (voir Détail d’un trou de perche )
• δ, espace entre deux trous
• lpc, longueur des perches dans la couronne

Caractéristiques des planches utilisées pour faire la couronne :

• wpc, largeur des planches
• epc, épaisseur des planches
• nepc, nombre d’étages de planches pour arriver à l’épaisseur de la couronne
• npc1, nombre de bouts de planche par étage
• npc, nombre total de bouts de planche pour faire la couronne
• lbpc, longueur d’un bout de planche
• ltpc, longueur totale de planche (de tous les bouts nécessaires)

On doit choisir :

• dc, diamètre extérieur de la couronne
• hc, épaisseur horizontale de la couronne
• vc, épaisseur verticale de la couronne
• wpc, largeur des planches
• epc, épaisseur des planches

On recherche :

npc, epc, lbpc, wpc, nepc, ltpc, caractéristiques des planches pour faire la couronne.
La couronne étant constituée de plusieurs couches, epc doit être un diviseur de hc (par exemple, si vous voulez une couronne de 10 cm d’épaisseur, il faut des planches épaisses de 1 cm, ou 2 cm, ou 2,5 cm ou 5 cm etc).

Choix de dc et dpc ; vérification

Lorsqu’on choisit dc, le diamètre de la couronne et dpc, diamètre des perches fichées dans la couronne, on peut calculer δ, espace entre les trous (voir figure 1) :

δ = (2 π rc - np dpc ) / np

Vérifier que δ ne soit pas trop petit, car ça fragiliserait la couronne. Surtout, si δ est négatif, ça veut dire que la couronne est trop petite pour contenir tous ces trous !

Caractéristiques des planches

Ici, le but est de choisir la taille des planches dans lesquelles on va découper des des portions de cercle.
Voila comment j’ai procédé :
- Pour l’épaisseur des planches epc, il suffit de demander une épaisseur qui divise l’épaisseur de la couronne vc ; dans mon cas, je voulais 10 cm d’épaisseur pour la couronne, et j’ai commandé des planches de 5 cm d’épaisseur. Pour l’instant; epc ne sert pas.
- Pour la largeur des planches wpc, j’ai demandé à la scierie quelle largeur maximale il pouvait me fournir. Ils m’ont dit 20 cm.
- La longueur des planches lbpc est à déterminer.

J’ai procédé en plusieurs étapes :

1. Savoir quelle portion de cercle peut tenir dans une planche de longueur donnée ; cela nous donne un angle γ1
2. En déduire l’angle γ, inférieur à γ1, divisant le cercle par un entier
3. Caractériser la forme à découper en utilisant γ

Etape 1
on regarde quelle portion de cercle (angle γ₁) on peut faire tenir dans une planche de largeur wpc.
Le but est de trouver une relation entre γ₁ et wpc.
On a : OA = OH + HA ;
OH = rci cos γ₁ ; HA = wpc ; OA = rc
Donc rc = rci cos γ₁ + wpc
De plus, rci = rc - hc

Donc cos γ₁ = (rc - wpc) / (rc - hc)

Etape 2
Chaque planche va donc couvrir un angle de 2 γ₁
On choisit un angle γ inférieur à γ₁, qui divise 360 en un nombre entier.
Par exemple, j’ai trouvé γ₁ = 31°, je prends donc γ = 30°
On calcule d’abord npc1, le nombre de morceaux de planches par étage :

npc1 = E(360 / 2γ₁) + 1 (E = partie entière)

On peut en déduire γ : γ = ¹⁄₂ (360 / npc1)

Etape 3
Une fois qu’on connaît γ, on peut caractériser les planches à acheter.

- Nombre de planches npc :

Nombre d’étages nécéssaires : nepc = hc / epc

Nombre de morceaux de planches nécessaire : npc = npc1 * nepc

- Longueur d’un bout de planche lbpc:

Voir figure 2 : lbpc = A₁A₂, soit lbpc = 2 rc sin γ

On peut maintenant déterminer la longueur totale de planche nécessaire : ltpc = npc * lbpc


Note : en découpant les planches, je me suis aperçu qu’on pouvait économiser de la planche en faisant chevaucher les éléments découpés
Voila les longueurs de planche effectivement utilisées :
- Pour 2 éléments : 157,2 cm
- Pour 3 éléments : 234,5 cm
- Pour 4 éléments : 311,5 cm

Détail de la découpe

Pour faire un patron, on peut calculer les coordonnées des point A_i et B_i dans le repère (H, x, y) pour différentes valeurs de γ_i, que l’on fait varier de 0 à γ
Pour B_i : x = HH_i et y = HJ_i
x = HH_i = OH’_i = rci sin γ_i
y = HJ_i = OJ_i - OH = rci cos γ_i - rci cos γ
Pour A_i, les calculs sont similaires et on tombe sur :
x = rc sin γ_i
y = rc cos γ_i - rci cos γ

Ces calculs sont effectués par programme, voir la page Programme pour une yourte.
Les coordonnées des A_i et B_i sont transformées pour avoir des mesures pratiques lors du tracé :
- Les x donnent la distance à partir du bord gauche (contenant C).
- Les y donnent la distance à partir du bord du bas (contenant D et E).
- L’angle part du bord gauche.

Le programme génère soit un tableau de données, soit un plan.
Plan généré pour notre yourte :


Les chiffres indiqués au bout des pointillés (0 ; 6.2 ; 12.6 … ou 5 ; 10.4 ; 16.1 …) correspondent aux x, c’est à dire la mesure à partir du bord gauche ;
les chiffres marqués à côté des points correspondent aux y, c’est à dire la mesure à partir du bord bas.
Toutes les mesures sont faites à partir du bord bas, car j’ai constaté des imprécision dans les tailles des planches (j’ai acheté des planches de 20 cm de large, et en pratique j’en ai eu entre 19,4 et 19,8 cm).

Détail d’un trou de perche

A ce stade, j’ai choisi AM, l’espace qu’on laisse entre le bas de la couronne et le trou pour une perche.
On connaît donc AM, dpc, lpc, hc, vc.
Les valeurs dont j’ai eu besoin sont :
- H₁N, noté lpc2, longueur de perche à tailler au bon diamètre
- AI, endroit où faire le trou
- IJ, profondeur du trou
- PD, place pour l’isolant
- OH₃, pour voir quelle épaisseur de couronne il reste au dessus de la perche
- AH7, pour savoir jusqu’où on peut visser pour assembler les étages de planche.

Formules :

H₁N = (AM + dpc) sin α + lpc

AI = AM + dpc / (2*cos α)

IJ = lpc + dpc/2 * tg α

PD = vc - ( AM + dpc / cos α)

OH₃ = vc - AM - dpc / cos α - lpc * sin α

AH₇ = dpc sin α + lpc cos α

Résultats pour notre yourte

Effectué par programme, voir la page Programme pour une yourte..